Ce sont des formules qui n’ont aucun sens si on cherche à les comprendre avec uniquement le langage. Pour quelqu’un qui n’a pas fait d’études en mathématiques, ce sont des formules magiques. Ce n’est pas comme une langue étrangère : ce n’est pas pareil. C’est une écriture, c’est une langue étrangère mais pas une langue humaine dans le sens que ce n’est pas une langue tel que les humains en développent entre eux pour pouvoir communiquer spontanément. Les langues qui se développent le plus rapidement, ce sont les langues des signes, les langues des sourds et des muets. Prenez par exemple un petit groupe d’une dizaine de sourds-muets. En une, deux maximum trois générations, ils développeront un langage qui est raisonnable. Il y a d’autres exemples comme les jumeaux qui développent leur propre langage l’un avec l’autre et que personne d’autre ne peut comprendre. C’est très rapide pour les êtres humains de trouver un langage parce qu’on est fait pour parler. Mais pour comprendre le langage mathématique, il a fallu des siècles et des siècles de travail délicat pour que tout se mette en place. C’est bien nous, les humains qui avons créé ce langage mais ce n’est pas la même échelle de temps, la même échelle de longueur. C’est un travail qui a été réalisé par des milliers de personnes sur des milliers d’années littéralement, en terme de construction. Ce que je veux dire, c’est que, pendant 20 ans, 10 personnes suffiront pour développer une langue (au sens classique) complètement nouvelle. Si on voulait inventer une nouvelle langue, ce serait très facile. Il n’y a qu’à voir d’ailleurs : le nombre de patois, de sous-patois comme en Suisse par exemple. En mathématiques, cela n’a rien à voir : c’est une langue que tout le monde parle et qui a été développée par tout le monde à la fois. Si cela avait été facile de créer le langage mathématique, il y aurait eu plein de sous-langages qui se seraient développés ici et là mais ce n’est pas le cas.

C’est clairement les deux. C’est une science parce que comme les autres sciences, il y a plusieurs caractéristiques. On ne va pas rentrer de le problème de savoir ce que c’est une science parce que ce n’est pas le bon propos... C’est une science dans le sens où c’est une démarche scientifique que les gens adoptent. Ça veut dire qu’ils construisent une réalité, un truc qui est vrai. Si le théorème est vrai, tout le monde a le même point de vue sur le fait qu’il soit vrai. L’économie n’est pas une science, dans le sens où on ne peut jamais savoir si une théorie est vraie ou fausse. Il y a des gens qui continuent de se disputer pour savoir si des modèles qui ont été trouvés il y a 100 ans sont raisonnables ou pas. En mathématiques, comme en physique ou comme en biologie, on a des résultats. Quand ils sont vérifiés, qu’on sait qu’ils sont vrais, on les publie. On écoute les gens qui les ont publié pas parce qu’ils sont célèbres mais parce qu’ils ont des arguments convaincants et parce que les résultats ont été vérifiés à travers des processus d’évaluation par des pairs. Ça, c’est important. Et de ce point de vue là, en mathématiques, c’est comme dans n’importe quelle science. En ce sens, c’est une science. Mais les mathématiques, c’est aussi une science extrême parce que dans toutes les autres sciences, pour arriver au résultat, on utilise une combinaison de déduction et d’induction. On généralise des exemples, on regarde sur des cas simplifiés, on extrapole, on admet certaines choses comme plausibles. En mathématiques, on n’admet rien ! Tout démontrer et uniquement faire de la déduction ! Il y a de l’induction dans la construction du modèle mais qui n’est pas une étape mathématique proprement dite : c’est de la modélisation. A partir de là, tout doit se déduire uniquement par raisonnement logique et c’est très très dur, c’est très très exigeant. En ce sens, c’est une science extrême. Il suffit de regarder le problème emblématique des mathématiques qu’est l’hypothèse de Riemann. Si on n’était pas en train de parler d’un truc de maths, tout le monde saurait que c’est vrai. Aucune théorie physique n’a été vérifiée avec autant d’exemples que l’hypothèse de Riemann n’a été vérifiée. On a vérifié des centaines de milliards, des billions de zéros : on sait qu’ils sont tous alignés. Il y a aucun domaine de la pensée humaine où une hypothèse que vous trouvez vérifiée des milliards de fois, vous n’êtes toujours pas convaincu. Je dis bien de la pensée humaine, je ne parle même pas de science ! Et en mathématiques, on a ce truc : on l’a vérifié des milliards de fois et on n’est toujours pas convaincu. C’est extrême en ce sens. Et puis les mathématiques, c’est particulier aussi, parce que justement, il y a toute l’importance accordée par les mathématiciens eux-mêmes à des notions qui relèvent du domaine de l’art : notions d’harmonie, notions d’esthétique, notions de surprise, notions de style dans le raisonnement et pas seulement dans les problèmes. C’est un peu faux ce que je vais dire mais, c’est pour donner une image de ce qu’est un mathématicien. En gros, un physicien, c’est quelqu’un qui étudie un problème de physique. Mais un géomètre, ce n’est pas forcément quelqu’un qui étudie de la géométrie. Ou un analyste, comme moi, n’est pas forcément quelqu’un qui étudie de l’analyse. Ça peut être quelqu’un qui étudie un problème géométrique avec des outils d’analyse. Ça peut être quelqu’un qui étudie de la physique avec de la théorie des équations dérivées partielles. C’est le style qui compte en mathématiques pour définir la personne que vous êtes, pas l’objet de votre étude. C’est le style qui compte et c’est certainement pour ça qu’il y a autant d’importance accordée aux questions d’esthétique. Ça c’est beau, ça ce n’est pas beau. Comment va-t-on pouvoir se diriger avec tant de possibilités, tant de styles différents ? Comment choisir ? Les mathématiciens, toujours, qu’ils soient platoniciens ou pas, vont être guidés par cette idée que la bonne solution doit incorporer des éléments qui sont beaux. J’en parlais notamment dans mon exposé (ndlr : BRIDGES 2014 - http://bridgesmathart.org). Certaines formules sont tellement belles qu’elles doivent servir à quelque chose. Les mathématiciens aiment les belles formules pas seulement parce qu’elles sont belles, mais parce qu’ils ont
le sentiment que si elles sont belles alors elles vont être utiles. Elles vont être utiles, elles vont être puissantes, elles vont être transmissibles, elles vont résumer beaucoup de choses à la fois et tout de suite. Avec cette idée, on rejoint les anciens idéaux grecques : ce qui est beau est bon. C’est de l’élégance. Les mathématiques, c’est comme en design : il faut à la fois que ce soit beau et
que ça marche !

Il faut tout de même faire gaffe au couple mathématiques et arts parce que ça demande d’être un vrai mathématicien ou bien d’être un vrai artiste. Il ne faut pas croire qu’on va faire une formation mathématiques et arts. Par exemple, il faut d’abord trouver son style dans l’un des deux domaines et très franchement, c’est déjà tellement dur de devenir un artiste ou tellement dur de devenir un mathématicien qu’il ne faut pas espérer être les deux à la fois. Il y a quelques exemples très rares. Fomenko est un exemple de quelqu’un qui sait vraiment dessiner et qui est un vrai mathématicien. Mais la plupart
du temps, les projets mathématiques et arts... Disons que les choses intéressantes arrivent à la rencontre des deux cultures. Quand la Fondation Cartier a fait son exposition “Mathématiques, un dépaysement soudain”, c’était systématiquement en appareillant les personnes : un mathématicien, un artiste et ainsi de suite. C’était un bon choix. C’est vraiment très rare de pouvoir faire les deux à la fois. Même Fomenko était un bien plus grand mathématicien que dessinateur même s’il était un très très bon dessinateur. A la conférence Bridges 2014, on le voit bien : le niveau mathématique des participants est extrêmement inégal. C’est toutefois un bon eco-système et c’est très bien que cela existe : au sein de cette exposition coexistent des choses très profondes et des choses très superficielles. Donc quand on dit mathématiques et arts, il faut vraiment faire très gaffe !Il y a des artistes qui utilisent des règles mathématiques pour construire leurs oeuvres et certains arrivent à de bons résultats. A la fin, tout dépend du talent artistique. Il n’y a pas de règle unique : c’est très variable ! Il y a un point commun majeur entre l’art et les mathématiques et cela quel que soit l’art, c’est que dans un cas comme dans l’autre, dans l’art comme dans la mathématique, on représente quelque chose. Dans une construction artistique, on présente soit un monde physique, soit un monde d’émotions qui va être rendu sous forme musicale ou sous forme picturale, etc. On cherche à recréer quelque chose et on cherche à atteindre au niveau des émotions, la personne pour qui on travaille. Ça, c’est l’art qui est donc toujours une représentation de quelque chose, une présentation de quelque chose. Les mathématiques aussi ! Ça, c’est un point commun général. Mais après cela, iln’y a plus vraiment grand chose. Les démarches divergent complètement. Ça se retrouve après le fait qu’il y est des mathématiques dans certaines formes d’art : les mathématiques sont un outil extrêmement puissant de construction. Il y a certaines constructions - comme en architecture - pour lesquelles une dose de mathématiques sera très utile. Après, on peut jouer sur les deux et c’est là qu’on arrive sur le genre d’interactions que je décrivais dans mon exposé à Bridges.

Cela arrive de plus en plus souvent pour une raison simple, c’est que les disciplines croissent et croissent et croissent et qu’il y a de plus en plus de surfaces de contact, et de plus en plus d’expériences. Et c’est mon problème parce que tout m’intéresse et ça me perdra !

De part ma fonction, ma première réaction concerne évidemment la médaille d'Artur Avila, mathématicien franco-brésilien, qui confirme le rang de l'école française de mathématiques dans le monde. Son parcours atypique et les conditions de travail qu'il a pu trouver en France, sur les plans scientifique et matériel, sont un encouragement pour l'ensemble de la communauté mathématique française.
Je suis bien sûr aussi impressionné par les contributions des trois autres lauréat(e)s 2014, avec une mention spéciale pour Maryam Mirzakhani, première femme à recevoir la médaille Fields ! Cette récompense au plus haut niveau est un formidable message pour les jeunes femmes, notamment en France, en cette période où  il est très difficile d'attirer les jeunes filles vers les disciplines scientifiques et où les mathématiciennes en poste rencontrent de nombreux obstacles au cours de leur carrière.

Si l'attribution d'une telle récompense repose évidemment sur les mérites d'Artur Avila, le contexte scientifique et matériel dans lequel celui-ci a pu évoluer y est pour beaucoup. Les mathématiques sont depuis longtemps très développées en France, au plus haut niveau et de façon extrêmement variée. La délégation française invitée à Séoul, forte d'une quarantaine de membres, couvre tout le spectre des mathématiques; les domaines au cœur des fondements comme l'algèbre, l'analyse ou la géométrie, ceux riches d'applications comme les statistiques ou les équations aux dérivées partielles, ceux aux interfaces avec d'autres disciplines telles la physique ou plus récemment la biologie, sans oublier l'histoire des mathématiques ou le partage du savoir avec des publics variés. Cette diversité est le signe de la vitalité de la recherche mathématique en France, bien insérée dans le réseau mondial des mathématiciens. Elle est évidemment un atout essentiel, pour l'attractivité de notre école mathématique et le développement de nouvelles synergies.

La France compte à ce jour 13 médailles Fields, dont 10 sont des anciens élèves de l'Ecole Normale Supérieure de la Rue d'Ulm; la présence des ENS est donc un formidable levier pour attirer et retenir des jeunes mathématiciens brillants. Artur Avila présente un profil tout à fait différent. Formé au Brésil - dont l'école mathématique a tissé des liens très étroits avec la France depuis plusieurs décennies et tout particulièrement en "systèmes dynamiques" -  il a pu trouvé en France des conditions favorables pour mener à bien ses travaux de recherche. Je vois donc dans cette récompense une forme de plaidoyer pour le travail de structuration des mathématiques françaises:
- l'IHES, l 'IHP et le CIRM (*)  sont de formidables outils qui assurent une visibilité internationale de premier plan,
- le CNRS, par le biais de son Institut National des Sciences Mathématiques et de leurs Interactions (INSMI), et l’INRIA offrent aux jeunes mathématiciens des conditions matérielles attractives en leur laissant en particulier ce temps si précieux pour la maturation de leurs recherches
- un réseau dense de laboratoires sur tout le territoire, coordonné par les instituts nationaux (le CNRS et l 'INRIA) et représenté par des sociétés savantes dynamiques (la SMF, la SMAI, la SFdS).  Si la majorité des membres de la délégation française occupe un poste dans la région parisienne ou dans un établissement étranger prestigieux, plusieurs d'entre eux viennent d'un établissement en province, illustrant ainsi cette qualité du tissu mathématique sur l'ensemble du territoire. Il existe - au sein des différents laboratoires - une grande variété de postes de chercheurs et enseignant-chercheurs, susceptibles de retenir les jeunes mathématiciennes et mathématiciens en leur proposant des conditions matérielles favorables, et notamment des postes permanents assez tôt dans leur carrière, contrairement à de nombreux autres pays.
Il nous faut cependant rester très vigilants car ces résultats, témoins de l'excellence mathématique française, sont loin d'être assurés pour l'avenir; on ne peut que s'inquiéter du fait que le financement public de la recherche en France soit très en dessous de celui d'autres pays européens, des Etats-Unis  et de  pays émergents.

Au delà des préjugés négatifs sur les mathématiques que l'on entend souvent ici et là, le grand public en France  est de plus en plus conscient de l'ubiquité des mathématiques dans la vie quotidienne et de leur rôle clé pour relever les défis économiques, sociaux et écologiques de ce début du XXIème siècle. Il est bien évidemment sensible aussi à ce maintien de l'école mathématique française au plus haut niveau mondial, comme attesté par la médaille d'Artur Avila, l'importance de la délégation française à Séoul et d'autres distinctions internationales récentes.
En ce qui concerne notre système éducatif, qui montre des signes d'essoufflement comme indiqué par l'enquête PISA fin 2013 par exemple, l'impact de ces résultats au plus haut niveau en recherche fondamentale est plus difficile à identifier. De nombreux acteurs s'intéressent depuis longtemps aux questions de formations et aux moyens de développer l'appétence des jeunes générations pour les disciplines scientifiques. Les sociétés savantes de mathématiques, et en particulier la SMF, sont fortement ancrées dans la communauté mathématique française; elles sont aussi engagées sur les questions de la formation en mathématiques aux côtés de diverses associations du monde éducatif et scientifique. Ces résultats peuvent donner plus de poids aux propositions qu'elles font régulièrement. Encore faut-il qu'elles soient mieux écoutées par les pouvoirs publics!

 

(*) IHES : Institut des Hautes Etudes Scientifiques 
(Bure-sur-Yvette)

IHP : Institut Henri-Poincaré 
(Paris)

CIRM : Centre International de Rencontres Mathématiques (Marseille)

Propos recueillis par Stéphanie Vareilles 
(Communication-CIRM)




Et sur la chaîne Youtube du CIRM, l'interview de Marc Peigné qui parle du rôle de la SMF, du CIRM, de l'ICM 2014. 

J'ai été ravi pour Artur dès que j'ai appris qu'il avait la médaille Fields.  Artur est un mathématicien hors norme, il méritait vraiment ce prix. Il a des quantités de contributions très importantes dans diverses branches des systèmes dynamiques (dynamique complexe, dynamique dans les espaces de Teichmüller, cocycles quasipériodiques, etc.) Il maîtrise toutes les techniques des systèmes dynamiques et a résolu des questions difficiles dans de  très nombreuses branches de ce domaine de recherche. Mais personnellement, ce qui me frappe le plus chez Artur c'est son intuition géniale et son imagination hors du commun.

C'est un plaisir de travailler avec Artur. Il a beau être d'une rapidité fulgurante, il est extrêmement accessible et toujours ravi de discuter  maths avec ses collaborateurs. Je me souviens très bien de la façon dont a démarré l'écriture de notre premier article commun. J'ai expliqué un petit résultat à Artur et immédiatement, il m'a dit : "Pascal, en transformant un peu la méthode, tu peux montrer beaucoup mieux".  J'ai mis six mois à comprendre ce qu'il voulait dire... Après de nombreuses séances de discussions sur le chat de google, je me suis aperçu que ce que disait Artur au départ était tout simplement l'idée clé pour résoudre le problème. Lors de chaque discussion avec Artur, j'ai l'impression que de nouveaux horizons mathématiques s'ouvrent devant moi.
 

J'ai rencontré Artur pour la première fois au CIRM en 2001 lorsque nous avons créé le concept de "Mois thématique".  Nous avions organisé cette année une session autour des systèmes dynamiques,  "L'Odyssée dynamique". Artur y est venu une semaine.  On m'avait prévenu qu'un jeune génie brésilien de 21 ans serait là pour une semaine et qu'il comprenait mieux que personne certains articles de Lyubich. Dès que je l'ai rencontré, j'ai été très impressionné.  J'ai depuis participé à de nombreuses rencontres au CIRM avec lui, par exemple pour les 60 ans de Hubbard, les 60 ans de Masur, etc.

Artur Avila est clairement un "problem solver". C'est quelqu'un de très ouvert, à l'imagination étonnante et à la technique redoutable. Il est toujours en quête de nouveaux problèmes sur lesquels il pourra exprimer son immense talent.  C'est une des raisons pour lesquelles il a tant de collaborateurs. 

L'anecdote qui me semble la plus représentative à propos d'Artur est celle que m'a racontée  Alex Eskin.  Artur et Alex travaillaient à l'époque sur un projet difficile à Rio de Janeiro. Bloqués par une difficulté majeure, Artur  dit alors à Alex : "tu sais, si nous étions dans un mauvais film sur les mathématiciens, on irait à la plage, on aurait une idée de génie et le problème serait résolu". Ils allèrent se promener sur la plage d'Ipanema le lendemain, discutèrent, et Artur trouva finalement la clé. Et le problème était résolu! 

J’espérais cette médaille pour lui depuis un bon moment. Je suis tout à fait convaincu qu’il la mérite, pour toutes ses qualités mathématiques et ses contributions, et tout particulièrement son dernier gros travail sur les « structures de régularité », qui révolutionne les équations aux dérivées partielles stochastiques, et permet  d’aborder des problèmes que l’on n’espérait pas pouvoir résoudre jusqu’ici. Ma première réaction a été beaucoup de joie pour lui. C’est aussi une reconnaissance de notre domaine commun. Je ne pensais pas qu’un jour le thème « équations aux dérivées partielles stochastiques » serait associé à une médaille Fields. C’est grâce à Martin, qui y a introduit des outils très puissants et très novateurs.

Nos deux premiers articles traitent de l’homogénéisation (comment et quand peut-on approcher une équation à coefficients ayant de fortes oscillations par une équation plus simple, à coefficients constants). Le second, en collaboration aussi avec Andrey Piatnitski, traite de l’homogénéisation d’équations aux dérivées partielles à coefficients aléatoires, dans une situation où la limite est une équation déterministe. Martin m’avait écouté exposer des résultats préliminaires sur ce sujet, et m’a posé une question à laquelle je ne savais pas répondre. La réponse à cette question nous a conduits à un troisième article que nous terminons en ce moment, qui fait appel à sa théorie des « structures de régularité », pour obtenir une équation aux dérivées partielles stochastiques comme limite d’équations aux dérivées partielles à coefficients aléatoires. Le même type de résultat, s’agissant d’équations différentielles ordinaires en dimension finie convergeant vers une équation différentielle stochastique, date du milieu des années 60. Cinquante ans plus tard, le même problème pour les EDP ne serait toujours pas compris sans les outils inventés par Martin.

Je me souviens d’une semaine au CIRM en février 2013, où Martin avait exposé le gros résultat dont j’ai parlé ci-dessus.

Martin a une culture très vaste. Il voit très vite quel est le bon cadre, et le bon jeu d’hypothèses pour résoudre un problème. Il a apporté des contributions importantes sur des sujets vraiment variés. C’est un mathématicien profond et fécond. C’est aussi un excellent pédagogue, qui sait faire comprendre les difficultés et les idées essentielles dans une théorie difficile. Ecouter ses exposés est un vrai plaisir : on comprend à chaque fois des choses nouvelles.
 

Je ne peux pas résister à l’envie de raconter comment est né notre premier article commun. J’exposais un travail sur l’homogénéisation lors d’une conférence à Pise. A la fin de mon exposé, Martin m’a posé une question. Nous avons passé le reste de la semaine à creuser sa question (j’avoue que nous n’avons pas écouté tous les exposés cette semaine là), et à la fin notre article était quasiment écrit. 
Je suis proche de la retraite, j’ai donné des exposés devant des auditoires très variés. C’était la première fois qu’un auditeur comprenait parfaitement le problème que je traitais, et avait des idées pour améliorer mes résultats, qu’il avait en outre envie de discuter avec moi.